// définition d'une matrice (-1 3)=> dimension(1,2) et d12= 3 //////////////////////////////// // addition de matrices matrices de mêmes dimensions (sinon => pas définie) (-2 3)+(3 -1) = (1 2) //////////////////////////////// // produit matriciel il faut que dim b=c (a,b)*(c,d) (sinon => pas définie) //////////////////////////////// // transposée => ligne devient colonne //////////////////////////////// // matrice d'identité I2 = (1 0) I3 = (1 0 0) (0 1) (0 1 0) (0 0 1) //////////////////////////////// // matrice inverse B inverse de A si AB = In AA^-1 = A^-1A = I //////////////////////////////// // matrice nilpotentes Une matrice est Nilpotente si il existe p tel que A^p = 0 => si Nilp alors pas inversible //////////////////////////////// // déterminant si det(A) != 0 => inversible // matrice 2x2: (a b) |a b| det(c d) = |c d| = ad-bc // matrice 3x3: On attribue le signe |+ - +| + ou - a chaque coef |- + -| du tableau suivant |+ - +| ex : |2 1 2| |1 2| |2 2| |2 1| |6- 1+ 1-|= -6|5 3|+1|4 3|-1|4 5| |4 5 3| = -6*(-7) + 1*(-2) - 1*6 = 34 // matrices triangulaires: produit de sa diagonale ex : |2 0 0| |5 -1 0| det = 2*(-1)*4 = 8 |7 -6 4| // autres règles: Si on permutes deux lignes d'une matrice son det est multi par -1. Det transposée de M = det M det(^t M) = det(M). //////////////////////////////// // comatrices (-1)^i+j ex:(4 -2) cofacteur de 3 : (3 -6) (-1)^2+1*|-2| =-1*(-2) =2 com => remplace tout par cofact // propriété A inversible si 1 A^-1 = ------*^t*com(A) det(A) // regle (a b) (+d -c) A = (c d) com(A) = (-b +a) // inverser avec la prop calc det(A) calc com(A) calc ^t * com(A) (transp de com) remplacer dans la formule on peut finir par verifier en multipliant A par A^-1 = In // inverser avec la meth prati- que d'inv des M de grandes dim A|In => In|A^-1 pivot de gosse jusqu'a obtenir une matrice d'id à gauche // résolution d'un système d'eq linéaire (a1,1 a1,j a1,n) (x1) (b1) A=(ai,1 ai,j ai,n) X=(xj) B=(bj) (an,1 an,j an,n) (xn) (bn) AX=B s'écrit (a1,1*x1 + a1,j*xj +... = b1) (ai,1*x1 + ai,j*xj +... = bi) (an,1*x1 + an,j*xj +... = bn) si A inversible alors X=A^-1*B /////////////////////////////// // methode de cramer on pose Δ = det(A) sol uniq si Delta != 0 si Δ!=0 uniq sol =(x1,x2,...,xn) où xj = Δj/Δ avec jE{1,...,n} Δj det obtenu en remplaçant la j-ième colonne de Δ par le second membre. ex: 2x - 3y = 7 4x + 3y = 12 |2 -3| on pose Δ=|4 3|=18 donc S(x,y) |7 -3| x=Δx/Δ= |12 3| 59 19 ------ = -- = -- 18 18 6 |2 7| y=Δy/Δ= |4 12| - 4 -2 ------ = -- = -- 18 18 9