//   définition d'une matrice

(-1 3)=> dimension(1,2) et d12= 3

////////////////////////////////
//   addition de matrices 

matrices de mêmes dimensions 
(sinon => pas définie)

(-2 3)+(3 -1) = (1 2)

////////////////////////////////
//   produit matriciel 

il faut que dim b=c (a,b)*(c,d)
(sinon => pas définie)

////////////////////////////////
//  transposée 

=> ligne devient colonne

////////////////////////////////
//   matrice d'identité 

I2 = (1 0)   I3 = (1 0 0)
     (0 1)        (0 1 0)
                  (0 0 1)
                  
////////////////////////////////
//   matrice inverse 

B inverse de A si AB = In

AA^-1 = A^-1A = I

////////////////////////////////
//   matrice nilpotentes

Une matrice est Nilpotente si il
existe p tel que A^p = 0
=> si Nilp alors pas inversible

////////////////////////////////
//   déterminant

si det(A) != 0 => inversible

// matrice 2x2:
  
   (a b)   |a b|
det(c d) = |c d| = ad-bc

// matrice 3x3:
  
On attribue le signe  |+ - +|
+ ou - a chaque coef  |- + -|
du tableau suivant    |+ - +|

ex :
  
|2  1   2|    |1 2|  |2 2|  |2 1|
|6- 1+ 1-|= -6|5 3|+1|4 3|-1|4 5|
|4  5   3|

= -6*(-7) +  1*(-2) - 1*6 = 34 

// matrices triangulaires:

produit de sa diagonale 

ex : |2  0 0|
     |5 -1 0| det = 2*(-1)*4 = 8
     |7 -6 4|

// autres règles:
  
Si on permutes deux lignes d'une 
matrice son det est multi par -1.

Det transposée de M = det M
det(^t M) = det(M).

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//   comatrices

(-1)^i+j

ex:(4 -2)  cofacteur de 3 :
   (3 -6)  (-1)^2+1*|-2|
          =-1*(-2) =2
com => remplace tout par cofact

// propriété

A inversible si
         1
A^-1 = ------*^t*com(A)
       det(A)
       
// regle

    (a b)           (+d -c)
A = (c d)  com(A) = (-b +a)

// inverser avec la prop

calc det(A)
calc com(A)
calc ^t * com(A) (transp de com)
remplacer dans la formule 

on peut finir par verifier 
en multipliant A par A^-1 = In

// inverser avec  la meth prati-
que d'inv des M de grandes dim

A|In => In|A^-1

pivot de gosse jusqu'a obtenir
une matrice d'id à gauche

// résolution d'un système d'eq
linéaire

  (a1,1 a1,j a1,n)   (x1)   (b1)
A=(ai,1 ai,j ai,n) X=(xj) B=(bj)
  (an,1 an,j an,n)   (xn)   (bn)

AX=B s'écrit
(a1,1*x1 + a1,j*xj +... = b1)
(ai,1*x1 + ai,j*xj +... = bi)
(an,1*x1 + an,j*xj +... = bn)
si A inversible alors X=A^-1*B

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// methode de cramer

on pose Δ = det(A)
sol uniq si Delta != 0

si Δ!=0 uniq sol =(x1,x2,...,xn)
où xj = Δj/Δ avec jE{1,...,n}

Δj det obtenu en remplaçant la
j-ième colonne de Δ par le
second membre.

ex: 2x - 3y = 7
    4x + 3y = 12
    
          |2 -3|
on pose Δ=|4  3|=18 donc S(x,y)
        |7 -3|
x=Δx/Δ= |12 3|   59   19
        ------ = -- = --
          18     18    6
          
        |2  7|
y=Δy/Δ= |4 12|  - 4   -2
        ------ = -- = --
          18     18    9