Économie Monétaire : Ex Diamond

t = 0 : 1 unité investie

t = 1 : 
r
1
=
1
r
1
  ​

=1

t = 2 : 
r
2
=
R
>
1
r
2
  ​

=R>1

Probabilité 
α
α d’être type 1 → consomme en 
t
=
1
t=1 → obtient 
U
(
c
1
)
U(c
1
  ​

)

Probabilité 
1
−
α
1−α d’être type 2 → consomme en 
t
=
2
t=2 → obtient 
U
(
c
2
)
U(c
2
  ​

)

Fonction d’utilité du bien-être social
W
=
α
U
(
c
1
)
+
(
1
−
α
)
U
(
c
2
)
W=αU(c
1
  ​

)+(1−α)U(c
2
  ​

)
Niveau du bien-être en autarcie

Type 1 : liquide en 
t
=
1
t=1 et récupère 
r
1
=
1
r
1
  ​

=1

⇒
c
1
=
1
⇒c
1
  ​

=1

Type 2 : liquide en 
t
=
2
t=2 et récupère 
r
2
=
R
r
2
  ​

=R

⇒
c
2
=
R
⇒c
2
  ​

=R

Donc :

W
autarcie
=
α
U
(
1
)
+
(
1
−
α
)
U
(
R
)
W
autarcie
  ​

=αU(1)+(1−α)U(R)
Exemple numérique

Si 
U
(
c
)
=
ln
⁡
(
c
)
U(c)=ln(c), 
R
=
4
R=4 et 
α
=
0,2
α=0,2

Type 1 : 
c
1
=
1
⇒
U
(
1
)
=
ln
⁡
(
1
)
=
0
c
1
  ​

=1⇒U(1)=ln(1)=0

Type 2 : 
c
2
=
4
⇒
U
(
4
)
=
ln
⁡
(
4
)
=
2
ln
⁡
(
2
)
c
2
  ​

=4⇒U(4)=ln(4)=2ln(2)

W
autarcie
=
0,2
⋅
0
+
0,8
⋅
2
ln
⁡
(
2
)
=
1,6
ln
⁡
(
2
)
W
autarcie
  ​

=0,2⋅0+0,8⋅2ln(2)=1,6ln(2)
Banque

La banque investit tout en 
t
=
0
t=0.

À 
t
=
1
t=1, la banque doit payer 
r
1
r
1
  ​

 aux 
α
α déposants.

On suppose un dépôt initial de 1 unité du bien, investi dans l’actif.

Chaque retrait en 
t
=
1
t=1 coûte 1 unité d’actif.
Chaque unité laissée jusqu’à 
t
=
2
t=2 rapporte 
R
R.

Si 
α
α déposants retirent en 
t
=
1
t=1, il faut 
α
r
1
αr
1
  ​

 unités liquides.

L’actif restant est :

1
−
α
r
1
1−αr
1
  ​


qui rapporte en 
t
=
2
t=2 :

R
(
1
−
α
r
1
)
R(1−αr
1
  ​

)
Contrainte de la banque
(
1
−
α
)
r
2
=
R
(
1
−
α
r
1
)
(1−α)r
2
  ​

=R(1−αr
1
  ​

)

Donc :

r
2
=
R
(
1
−
α
r
1
)
1
−
α
r
2
  ​

=
1−α
R(1−αr
1
  ​

)
  ​

Condition d’optimalité
U
′
(
c
1
)
=
R
U
′
(
c
2
)
U
′
(c
1
  ​

)=RU
′
(c
2
  ​

)

Avec 
U
(
c
)
=
ln
⁡
(
c
)
⇒
U
′
(
c
)
=
1
c
U(c)=ln(c)⇒U
′
(c)=
c
1
  ​


1
r
1
=
R
⋅
1
r
2
⇒
r
2
=
R
r
1
r
1
  ​

1
  ​

=R⋅
r
2
  ​

1
  ​

⇒r
2
  ​

=Rr
1
  ​


On rappelle la contrainte :

r
2
=
R
(
1
−
α
r
1
)
1
−
α
r
2
  ​

=
1−α
R(1−αr
1
  ​

)
  ​


Donc :

R
r
1
=
R
(
1
−
α
r
1
)
1
−
α
⇒
r
1
=
1
Rr
1
  ​

=
1−α
R(1−αr
1
  ​

)
  ​

⇒r
1
  ​

=1

Et :

r
2
=
R
r
1
=
4
r
2
  ​

=Rr
1
  ​

=4
Contrat optimal
(
c
1
∗
,
c
2
∗
)
=
(
1
,
4
)
(c
1
∗
  ​

,c
2
∗
  ​

)=(1,4)

L’autarcie donnait aussi 
c
1
=
1
c
1
  ​

=1 et 
c
2
=
4
c
2
  ​

=4.

On ne trouve pas plus de liquidité que l’autarcie car 
U
′
(
c
)
U
′
(c) est décroissante et l’égalité

U
′
(
c
1
)
=
R
U
′
(
c
2
)
U
′
(c
1
  ​

)=RU
′
(c
2
  ​

)

impose 
c
1
=
1
c
1
  ​

=1.

Exemple avec 100 investisseurs

100 investisseurs déposent 1 unité chacun

100
×
1
=
100
 unit
e
ˊ
s investies
100×1=100 unit
e
ˊ
s investies

α
=
0,2
⇒
20
α=0,2⇒20 investisseurs retirent en 
t
=
1
t=1

Chaque investisseur reçoit 
c
1
=
1
c
1
  ​

=1

Total à verser en 
t
=
1
t=1 :

20
 unit
e
ˊ
s
20 unit
e
ˊ
s
À 
t
=
2
t=2

Actif restant :

100
−
20
=
80
 unit
e
ˊ
s
100−20=80 unit
e
ˊ
s

Chaque unité rapporte 
R
=
4
R=4

80
×
4
=
320
 unit
e
ˊ
s
80×4=320 unit
e
ˊ
s
Remboursement type 2 et profit de la banque

Type 2 :

1
−
α
=
0,8
⇒
80
 personnes
1−α=0,8⇒80 personnes

Chaque type 2 reçoit :

r
2
=
4
r
2
  ​

=4

Total versé :

80
×
4
=
320
80×4=320

Profit de la banque :

320
−
320
=
0
320−320=0
Bien-être social
W
=
α
U
(
c
1
∗
)
+
(
1
−
α
)
U
(
c
2
∗
)
W=αU(c
1
∗
  ​

)+(1−α)U(c
2
∗
  ​

)
=
0,2
ln
⁡
(
1
)
+
0,8
ln
⁡
(
4
)
=
1,6
ln
⁡
(
2
)
=0,2ln(1)+0,8ln(4)=1,6ln(2)

➡️ Identique à l’autarcie car l’optimum est le même.