PROPRIÉTÉSDEF

continuité:.pourtoutnfncontinue.SUITEFNCVUVERSF.ALORSFESTCONTINUE
Inversionlimite/integrale:.suitefncvusur[a,b]versfalorslim(int[a,b]fn(t))=int[a,b]limfn(t)dt
C1:.fndeclassec1.suitefncvsversfsurI.(fn')cvuversI.ALORSfC1SURI
Cp:.fndeclasseCP.fncvsversfsurI.Pourtoutkentre1etp-1fn^(k)cvssurI.fn^(k)CVU. ALORS f de classe cp
CONVERGENCEDOMINÉE :
  PRTN, fn continue par morceaux sur I
  (fn)cvs vers f sur I
  f continue par morceaux sur I
  Il existe une fonction Phi continue par morceaux telle que :
    PRT N PRT T Ifn(t)I < Phi(t)
  Alors :
    - fn intégrable sur I
    - f integrable sur I
    - lim int fn = Int lim fn 

Théorème de la double-limite pour la serie de fonction:
    Soit (fn) une suite de fonctions définies sur I. Soit a e R u {-inf,inf} un élément ou une extrémité de I
  OSQ : 
    PRT N, fn admet une limite finie en a noté ln
    Somme fn cvu 
  Alors : 
    Somme ln cv
    lim Somme fn = Somme lim fn


Théorème de continuité pour la série de fonction : 
  Soit fn une suite de fonction
  OSQ :
    PRT N fn est continue
    La serie somme fn cvu sur I(ou tout segment)
  Alors :
    S continue
Théorème de classe cp:
  Soit (fn) une suite de fonction défini sur I
  Soit p e N
  OSQ :
    PRT N e N, fn est de classe Cp sur Infini
    somme fn cvs sur I
    Prt k entre 1 et p-1 somme (fn)^(k) CVS 
    Somme (fn)^k cvu
  Alors :
    S est de classe Cp sur I et pour tout k entre 1 et p S^(k)= somme fn^(k)

Intégration terme à terme segment :
  Soit (fn) une suite de fonctions définies et contines sur un segment [a;b]:
    OSQ:
      SOMME fn cvu  sur [a;b]
    Alors :
      somme int fn = int somme fn
Integration terme à terme intervalle
  PRT la fonciton fn est continue par morceaux et integrable sur I
  La somme fn cvs vers S sur I
  S continue par morceaux 
  la serie somme int IfnI cv 
  ALORS :
    Somme int fn cv
    S integrable
    Somme int fn = int somme fn