Isométrivectorielle :
  IIf(x)II = IIxII conserve la norme
F sous espace vectoriel de E :
  F et F^t sont supplémentaires dans E et on appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie par rapport à F parallelement à F^t
  Une symétrie orthogonale de E est une isométrie vectorielle
Réflecion : 
  symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan H de E. 
  On parle aussi de réflexion par rapport à H.
  Soit H un hyperplan de E. Notons u un vecteur normal à H et s la réflexion par rapport à H
  PRT x e E, s(x)= x - 2 <x,y>u/ IIuII2 
Caractérisation des isométries vectorielles. F e L(E) :
  1 f, isométrie vectorielle ssi f conserve le produit scalaire :
    PRT x,y, < f(x),f(y)> = <x,y>
  2 Soit B une base orthonormée de E. Soit f(B). F isométrie vectorielle ssi f(B) base orthonomée
Gram-Schmidt :
  eq+1 = Uq+1 - (Somme(1,q) <uq,ek>ek) /sqrt( IIuq+1II2 - somme [1,q] ( uq+1,ek)2 )
Soit u vecteur normal à H:
  projeté de H sur u Ph(x)= x - <x,u>/IIuII2

Groupe orthogonal :
  1 L'application Ide est une isométrie vectorielle de E
  2 La composée de deux symétries vectorielles de E est une isométrie vectorielle de E
  3 f de E automorphisme de E, de plus f-1 est également une isométrie vectorielle
  4 O(E) l'ensemble des isométries vectorielles de E, appelé groupe orthogonale de E
Soit u isométrie vectorielle de E, soit F sev de E stable par u alors :
  F^t stable par u 
  Dans une base de E adaptée à la somme F + F^t = E, la matrice de U est diagonale par blocs ( 2 blocs)
Soit f isométrie :
  Sp(f)={-1,1}
  Ker(f+Ide) et Ker(f -Ide) sont orthogonaux
  Ker f+de et Ker f - ide sont stables par f

Matrice orthogonale :
  Soit M Matrice, M orthogonale si :
    MM^t=Im
    M^tM=Im
    M inversible et M^-1 = M^t
    les colonnes de M forment une base orthonormée de Rn usuel
    les lignes de M forment une base de Rn usuel
Soit B base de E. Soit B' famille de n vecteurs de E :
  la famille B' bon ssi MatB(B') est orthogonale
Soit B bon de E. Soit f endomorphisme de E :
  f isométrie vectorielle ssi MatB(F) matrice orthogonale
Si M est une matrice orthogonale alors det(M) e {-1,1}
Si f isométrie vectorielle, alors det(f) e {-1;1}

det(MN)=det(M)*Det(N)

Groupe orthogonal :
  1 In matrice orthogonal
  2 le Produit de deux matrices orthogonales est une mat orthonogale
  3 Une matrice orthogonale inversible et son inverse est orthogonale
  4 On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonale, groupe orthogonal
Groupe spéciale orthogonale :
  SO(n) l'ensemble des matruces de On dont le det = 1
  In e SO
  Le produit de deux matrices de Sn est une matrice de Sn
  Une matrice de SO est inversible et son inverse e SO
Soit f e O, B BON de E :
  1 f rotation de E si det f = 1
  f rot de r ssi Mat B e SO
  3 L'ensemble des rotations de E se note SO 
  PRT f,g, dans SO, fog e SO et f-1 e SO

Orienter E = choisir Bo base de E considérée comme directe
Si det B > 0 directe si <0 indirecte

Deux bases ont la même orientation ssi detB'(B)>0, detB(B')> 0 

Soit E orienté, soit B bon directe de E 
Soit f e O(E) :
  f e SO ssi f(B) bon directe de E
Soit B' bon de E, detB(B')e{-1,1} : 
  B' directe ssi detb(B')=1

Cas où n=2 Supposons dim(E)=2 On suppose e orienté Soient u et v deux vecteurs de E
1 Soient B' et B deux BOND
2 Produit mixte [u,v] le det de (u,v) dans n'importe quelle base

Soit M e M2
1 M orthogonale ssi Il existe Teta telle que M est de la forme R(Teta) = 
  [cos T -sin Teta sin teta cos Teta] ou M = M(T) [Cos Teta sin Teta sin teta - cosTeta ]
2 So 2 = ensemble R T et O2 = Ensemble des ST

Les matrices de SO commutent RTRT'=RT'RT = RT+T'

On suppose E orienté soit r e L(E)
  r e SO(E) ssi IL existe T e R unique
  r rotation d'axe T

Mesure d'angle orienté. u' = 1u/IIuII + v'=1v/IIvII
Il existe ! r e E telle que r(u')=v'
<u,v>=IIuIIIIvIIcos Teta
[u,v]= IIuIIIIvII sin Teta produit mixte

Cas où n = 3 Supposons que dim(e)=3 SoientB et B' deux bons de E
detB(u,v,w)=detB'(u,v,w) produit mixte dans n'importe quelle base
u n v produit vectoriel telle que 
[u,v,w]=<unv,w> 
si diff de zero , base
M e SO3 ssi Il existe T et P e SO 3 telle que
p-1mp= [cos T - sin T 0 sin T cos T 0 0 0 1]
= [ Rt 0 0 1]

Méthode pour calculer l'image de rotation d'un vecteur :
  xp = x -<x,w>w
  f(x)=f(xp) -<x,w>w
Méthode pour trouver T :
  tr(f)= 1+2cos T
  sin T =[x,f(x)]
f endomorphisme autoadjoint si :
  PRT x,y, <x,f(y)> = <f(x),y>

Soit P projecteur :
  P projecteur orthogonal ssi p autoadjoint
  
Caractérisation séquentielle :
  f autoadjoint ssi Matb(f) est symétrique

Soit s symétrie de E alors :
  s symétrie orthogonal ssi s isométrie vectoriel ssi s endomorphisme autoadjoint
  
théorème spectral :
  Soit f endomorphisme autoadjoint de f, il existe une base orthonormale de E telle que Matb(F) est diagonale 
  Soit M une matrice symétrique réelle, il existe une matrice P orthogonale telle que P e On et une matrice D e mn R telle que M =PDP-1 = PDP^t
  f est diagonalisable et ses ss espaces propres sont orthogonaux
  
Soit f endomorphisme autoadjoint de E, f autoadjoint positif si prt x :
  <x,f(x)> > 0 
  On note S+ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints positifs

Soit A une matrice symétriqque de Mn, A symétrique positive si :
  X^tAX > 0
  Sn++
f e S+ ssi matB(f) e Sn+
f e S++ ssi Matb(f ) e Sn++

Caractérisation spectrale :
  soit f e S f autoadjoint positif ssi valeurs propres de f sont positives
  Soit A e Sn. A symétrique positive, respectivement défini positive ssi les valeurs propres de A sont positives
  
Si A symétrique réelle définie positive alors inversible