rappel :
  Lambda > 0, inverse de la durée de vie
  Support = R+
  densite : Lambda e(-Lambdax)
  Fonction de rep : 1-e(-lambdax)
  E(x)=Lambda
  V(X)=Lambda2

Polynome à racines aléatoires 
X suit une loi de Poisson
1)Determiner la probabilité que P(t)=t2-2Xt+1+X admette des racines réelles distinctes
On étudie les racines de P Puis on calcule la P de Delta > 0 cad P (X> x1)
2) On note S l'abscisse du Sommet. Que vaut E(S)
S= -b/2a donc E(S)
3)Peut on choisir Lamb pour que on passe par (X,X) > 1/2
donc on calcule P(X=P(X))>1/2
4)Déterminer l'altitude espérée du sommet 
On calcule E(P(S)

Fx(t)=P(X<=t)
Ex 2 
Soit Teta > 0 X suit une loi de P teta Y = 1/X+1
1)Fy = 1- P(X<1+1/t), en posant k = ceil ( 1+1/t)-1 on peut utiliser la caractéristique de la loi de poisson et obtenir
1- somme i = 0  k e-teta teta^i / i!
2)E(Y)
(par comparaison elle existe) E(y)=E(1/x+1)=somme(1/n+1)P(X=n)

Ex X suit une loi exp de Lambda Y = Floor X
1) VAD et Sa loi
Supp X = R+ donc supp Y = N donc discrete
P(Y=K)=P(K<x<k+1)= F(K+1)-F(k)= 1-e-lambda(k+1) - (1-e-lambda)
2) Y+1 loi géométrique
3) D=X-Y supp D = [0,1[
4) Fd(t)=P(D<t)= P(0<D<1)+P(1<D<t)=1+0=1
5)Fd(t)=1-e-lambdat/1-e-lambda
Fd(t)=somme P(Y<x<Y+tIY=k)=Somme P(k<x<k+t)= somme Fx(k+t)-Fx(t)
6) D à densité et lui donner 
dérivée Fd et dire que F est croissant, continue C1

Applications concrètes 
Vendeur, espérance de vie 10 ans. Client durée D et que la prob de cesser de fonctionner soit en dessous de 1/2
P(A>=d) = 1-Fa(d)< 1/2
Puis on peut généraliser à Lambdaa = 1/N