AB.AC=AB ×AC ×cos(x) =AB ×AC ×cos(x) u.u=u^2 Symétrie: u.v=v.u Bilinéarité:u.(v+w)=u.v+u.w et (v+w).u=v.u+w.u (ku).v=u.(kv)=k(u.v) Orthogonalité:u.v=0 Identités remarquables: u+v^2=u^2+2u.+v^2 u-v^2=u^2-2u.+v^2 Formules de polarisation: u.v=1/2(u^2+v^2-u-v^2) u.v=1/2(u+v^2-u^2-v^2) u.v=1/4(u+v^2-u-v^2) Dans un repere orthonormé: u.v=xx'+yy'+zz' u=√x^2+y^2+z^2 Distance entre 2 points: AB=√(xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2 Demontrer que 2 droites sont orthogonales: La droite d est orthogonale au plan (ABC) Comme la droite (AC) appartient au plan (ABC) la droite AC est orthogonale à la droite d Par ailleurs la droite AC est perp a la droite BE car dans un triangle equilateral, les medianes et les hauteurs sont confondus Ainsi (AC) est orthogonale a 2 droites secantes du plan (BED):(BE) et d Donc (AC) est orthogonale au plan (BED) La droite BD appartient au plan (BED) Donc la droite (AC) est orthogonales a (BD)) [21:42] Calculer la distance en utilisant le projeté orthogonale: 1) calcul des coordonées des vecteurs 2) Or, (GI) est orthogonale au plan BDE donc le vecteur GI est orthhogonal aux vecteurs BD et EB. Soit: BD.GI=0 ...=0 ...=0 ...=... EB.GI=0 ...=0 ...=0 ...=... On a ainsi ...=...=... De plus, GI est orthogonal au vecteur BI soit, BI.GI=0 ...=0 ...=0 D'ou ...=0 car ... n'est pas egale 0 Ainsi: x=... On en deduit les coordonnées de I: Et ainsi: IG=√(xg-xi)^2+(yg-yi)^2+(zg-zi)^2