chap11_equationdiferentiel.py

Created by comecp

Created on March 12, 2024

2.32 KB

Type y'=ay:
  
Prop: Les sols de l'équa diff 
y'=ay sont les 
fonctions de la forme x 
associe Ce^ax ou C est 
une constante réelle 
quelconque.

METHODE: 

On considère l'equa diff 
3y'+5y=0

1)determiner la forme generale
des solutions de l'equation:

3y'+5y=0
3y'=-5y
y'=-5/3y 
Les solutions sont de la forme
yc(x)=Ce^-5/3x, la Constante

appartient a l'intervalle IR

2)Determiner l'unique solution
telle que y(1)=2

y(1)=2
Par conséquent: Ce^-5/3*1=2 

Ce^-5/3=2
C=2e^5/3

Ainsi y(x)=2e^5/3e^-5/3x
          =2e5/3-5/3x
          =2e^5/3(1-x)

-----------------------------------------------
Type: y'=ay+b

Prop: La fonction qui a x 
associe -b/a est sol de 
l'équa differentiel.

y'=ay+b (a pas=0). 

Cette sol est appelé 
sol particulière constante.

Solution: Ce^ax-a/b

METHODE: 

On considere l'equa diferentiel 
2y'-y=3

1)Determiner la forme 
generale des sols de 
l'équation:

2y'-y=3
2y'=y+3
y'=1/2y+3/2

Les solutions sont de la 
forme: 
  yc(x)=Ce^1/2x-(3/2)/(1/2)
  
  Soit: Ce^1/2x-3, C app IR 
  
2)Determinerl'unique solution
tel que y(0)=1

y(0)=1

Donc:Ce^1/2*0-3=-1

C-3=-1
C=2

Ainsi y(x)=2e^1/2x-3

----------------------------------------------
Type:y'=ay + f

Prop: Soient a un reel non 
nul et f une fonction définie
sur un interevalle.

1)Les solutions de l'equation
diferentiel.

y'=ay+f sont les fonctions 
de la forme:
  x associe u(x)+v(x)
  ou u est une solution 
  particulère de l'equation
  y'=ay+f
  
  et v une sol quelconque 
  de l'équation y'=ay

  METHODE: 
On considère l'equation
differetiel y'-2y=x^2

1)Demontrer que la fonction 
u est définie sur IR 

par u(x)=-1/2x^2-1/2x-1/4
est solution particulière de 
l'équation differetiel. 

u'(x)=-1/22x-1/2=-x-1/2
    
Ainsi u'(x)-2u(x)
  =-x-1/2-2(-1/2x^2-1/2x-1/4)
  =-x-1/2+x^2+x+1/2
  =x^2
  
La fonction u définie 
sur R par 
u(x)=-1/2x^2-1/2x-1/4 
est donc une solution 
particilière de l'equation
y'=-2y=x^2

2)En deduire la forme generale
de toutes les solution 
de l'equation differentiel. 

Les solutions de l'equation:

y'=2y sont de la forme 

x associe Ce^2x, C app IR
  
On en deduit que les solutions
de l'equation

y'-2y=x^2 sont de la forme:
  
yc(x)=-1/2x^2-1/2x-1/4+Ce^2x, 

C app IR, somme d'une solution
particulière de l'equation:
  
y'-2y=x^2 est de la forme 
generale des solutions de 
l'équation y'=2y