Si une fonction f est 
convexe sur un intervalle I,
alors f est toujours
croissante sur I.
Faux. Une fonction convexe
n'est pas nécessairement
croissante. 
Par exemple, f(x) = x2
est convexe sur R,
mais elle décroît sur ] - 00,0]


2. Si f est convexe et 
dérivable sur un intervalle I,
alors f' est croissante sur I.
Vrai. La convexité implique 
que la dérivée de fest
croissante, bien que cela 
ne signifie pas nécessairement
que f' est positive.


3. Une fonction affine
f(x) = ax + 6 est convexe sur
tout intervalle.
Vrai. Une fonction affine 
est à la fois convexe et 
concave, car sa dérivée
seconde est nulle
(f"' (x) = 0).


4. Une fonction deux fois
dérivable est convexe sur 
un intervalle si f'' (x) > 0 
pour tout x de cet intervalle.
Vrai. Si la dérivée seconde
est strictement positive,
cela implique que fest
strictement convexe sur
cet intervalle.


5. Si f(x) = x3, alors f est 
convexe sur Rt.
Faux. La dérivée seconde de
f(x) = x3
est f"' (x) = 6x.
Cette fonction est positive 
sur Rt, mais elle n'est pas
strictement positive sur tout
R, car elle change de signe
en 0. La convexité est 
limitée à x > 0.


6. La somme de deux fonctions
convexes est toujours convexe.
Vrai. Cette propriété est
due au fait que la dérivée
seconde de la somme est la
somme des dérivées secondes,
qui reste positive si lesx
deux fonctions sont convexes.



7. Si f(x) est convexe sur I,
alors f est continue sur I.
Vrai. Une fonction convexe
sur un intervalle est
toujours continue sur 
cet intervalle


8. Si f(x) = ex, alors f est
convexe sur R.
Vrai. La dérivée seconde de
f(x) = e
est f'(x) = et > 0, donc f 
est strictement convexe sur R.


9. Si fest convexe sur un 
intervalle I, alors - f est 
concave sur I.
Vrai. La concavité est
l'opposé de la convexité,
donc si f est convexe, alors
-f est concave.


10. Toute fonction continue 
est convexe sur son 
intervalle de définition.
Faux. La continuité
n'implique pas la 
convexité. Par exemple,
f(x) = lx| est continue
mais non convexe sur tout R.