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def est_congruent(a, b, n):
    return a % n == b % n

def addition_mod(a, b, n):
    return (a + b) % n

def soustraction_mod(a, b, n):
    return (a - b) % n

def multiplication_mod(a, b, n):
    return (a * b) % n
def decomposition_facteurs_premiers(n):
    facteurs = []
    diviseur = 2
    
    # Diviser n par 2 tant qu'il est divisible
    while n % diviseur == 0:
        facteurs.append(diviseur)
        n //= diviseur
    
    # Vérifier les autres diviseurs impairs
    diviseur = 3
    while diviseur * diviseur <= n:
        while n % diviseur == 0:
            facteurs.append(diviseur)
            n //= diviseur
        diviseur += 2
    
    # Si n est encore un nombre premier supérieur à 2
    if n > 2:
        facteurs.append(n)
    
    print(facteurs)
    

def imprimer():
    print("=== Antisèche sur les congruences en mathématiques ===\n")

    print("1. Définition de la congruence")
    print("Deux entiers a et b sont congruents modulo n si leur différence est un multiple de n.")
    print("a ≡ b (mod n)")
    print("Cela signifie : n divise (a - b) ou encore a - b = k * n pour un certain entier k.\n")

    print("2. Propriétés de la congruence")
    print("1. Réflexivité : a ≡ a (mod n)")
    print("2. Symétrie : Si a ≡ b (mod n), alors b ≡ a (mod n)")
    print("3. Transitivité : Si a ≡ b (mod n) et b ≡ c (mod n), alors a ≡ c (mod n)\n")

    print("3. Opérations avec les congruences")
    print("Si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n), alors :")
    print("- Addition : a + c ≡ b + d (mod n)")
    print("- Soustraction : a - c ≡ b - d (mod n)")
    print("- Multiplication : a * c ≡ b * d (mod n)\n")

    print("4. Division et inverse modulaire")
    print("Division directe n'est pas possible avec les congruences.")
    print("Un entier c a un inverse modulo n si et seulement si PGCD(c, n) = 1.")
    print("L'inverse de c modulo n est un entier c−1 tel que c * c−1 ≡ 1 (mod n).\n")

    print("5. Applications courantes")
    print("- Résolution d’équations de congruence : ax ≡ b (mod n)")
    print("  Il faut que PGCD(a, n) divise b pour qu'une solution existe. Si PGCD(a, n) = 1, on peut résoudre en multipliant b par l'inverse de a modulo n.")
    print("- Cryptographie : Les congruences sont utilisées en cryptographie, notamment dans RSA.\n")

    print("6. Exemples")
    print("- Exemple de congruence : 17 ≡ 5 (mod 12), car 17 - 5 = 12.")
    print("- Exemple d’opérations : Si 3 ≡ 7 (mod 4) et 5 ≡ 1 (mod 4), alors 3 + 5 ≡ 7 + 1 ≡ 8 ≡ 0 (mod 4).\n")

    print("7. Algorithme d’Euclide pour trouver un inverse")
    print("Pour résoudre une équation ax ≡ 1 (mod n), on utilise l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver l'inverse de a modulo n.")
    print("L'algorithme exprime PGCD(a, n) sous la forme ax + ny = 1. Le coefficient x est l'inverse de a modulo n.\n")


imprimer()

$\over{a+b}$ = $\over{a}$.$\over{b}$
$\over{a.b}$ = $\over{a}$ + $\over{b}$
a.$\over{a}$ = 0
a + $\over{a}$ = 1
a+ab = a
a + $\over{a}$b = a+b
$\over{a}$ + ab = $\over{a}$+b
a+a = a | a.a = a

+ = OU
. = ET

Avec 3var
1case = 3var
2case = 2var
4case = 1var

a=b[n] -> a congru b modulo n
b = reste / de a par n
n = diviseur
21=16[5] car 21=5*4+1
16=5*3+1

15=7*2+1 = 1[2]
A est multiple de n quand A=0[n]
sois A/n = 0

Matrice Additions :
Uniquement meme dimension
Multiplication multiplier tout les termes
Multiplication matrice
M*N = N doit avoir le meme nb de ligne que M a de colonne