1. Grandeurs decrivant le mouvement Soit un systeme (S) considere comme ponctuel repere dans l'espace par le point M (generalement) le centre de masse (Voir Chapitre 11)). Le referentiel detude est muni d'un repere orthonorme avec les caracteristiques suivantes : Origine O Vecteurs unitaires (par exemple): i parallele a laxe (Ox) J parallele a laxe (Oy) k parallele a laxe (Oz) a) Rappels Le systeme est le corps dont on etudie le mouvement Referentiel geocentrique Referentiel terrestre Referentiel héliocentrique Dans un referentiel donne, la trajectoire est lensemble des positions successives occupees par un point au cours de son mouvement VECTEUR POSITION Le point M de coordonee (x y) est repere par le vesteur position OM La position M varie avec le temps t (equation horaire) x devient un fonction du temps x(t) y devient une fonction du temps y(t) vecteur OM devient une fonction du temps: vecteur OM=x(t)vecteur i + y(t) vecteur j VECTEUR VITESSE vitesse de M ? soit le point M'(t+delta t) entre t et t+delta t, M parcouru approximativement le vecteur MM' la vitesse de M peut etre representee par un vecteur v(t) parallele a vecteur MM' qui vaut vecteur v(t)=vecteurMM'/delta t la vitesse instantanee a l'instant t est la limite de vecteur v(t) losque delta t tens vers zero vecteur MM'= vecteur OM'- vecteur OM v(t)= lim vecteur OM'(t+delta t)- vecteur OM (t)/delta t c la def de la derivee vecteur OM par rapport au temps le vecteur vitesse est la derivee du vecteur position vecteur v (t)=vx(t)vecteur i + vy(t) vecteur j Derivee temporel vecteur v(t)=d vecteur OM/dt =(vx=dx/dt=x'(t)) =(vy=dy/dt=y'(t)) la valeur de la vitesse est v=racine carre vx**2+vy**2 VECTEUR ACCELERATION Remarque : Vecteur quantité de mouvement La quantité de mouvement d'un systèmede masse m animé d'une vitesse i vecteur v est définie par: p = m x vecteur v II. Quelques mouvements classiques a) Mouvement rectiligne uniforme Vu en seconde : Mouvement rectiligne uniforme : -trajectoire : droite - vitesse : constante Mouvement rectiligne uniforme: v(t) = Cte Un système est animé d'un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse est constant (indépendant du temps). v(t) garde même direction, même sens et même valeur Que vaut son accélération a(t)? Si v(t) = Cte : Vz(t) = Cte = (dvx/dt)(t) = 0 = ax(t) = 0 De même sur l'axe des y: ay (t) = 0 Flèche -vecteur a(t)=vecteur 0 Un système animé d'un mouvement rectiligne uniforme a une accélération nulle Son mouvement le long de la trajectoire ? On peut choisir le référentiel tel que l'axe Ox soit le long de la trajectoire Donc: vecteur v=vx0 vecteur i Que vaut X(t) ? Vx(t) =vx0 or Vx= (dx/dt)(t) Donc (dx/dt))t) = Vx0 Quelle fonction a une dérivée constante ? x(t) = vx0t+x0 La position le long de la trajectoire d'un système (S) en mouvement rectiligne uniforme est une fonction affine du temps. b) Mouvement rectiligne uniformément varié On dit d'un système a un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et que son vecteur accélération est indépendant du temps: a(t) = Cte On se place dans un repère dans lequel l'axe Ox est confondu avec la trajectoire. Évolution de la vitesse : a = ax0 vecteur i = (dvx/dt)(t)=ax0 = vx(t)=dx/dt=axot + vxo Évolution de la position = x(t) = 1/2 axot2 + Vxot +xo C) Le repère de Frenet Dans les mouvements précédents le seul repère utilisé était le repère orthonormé Dans le cas de l'étude des mouvements circulaires, le repère de Frenet sera privilégié Le repère de Frenet utilise deux vecteursunitaires partant d'un point M en mouvement: - le vecteur tangentiel ut, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement; - le vecteur normal un, perpendiculaire à u, et orienté vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire. -le vecteur accélération a(t) a une coordonnée tangentielle selon ut ,et une coordonnée normale selon Un Vecteur a(t)= dvx/dt)(t)ut + (v(t)2/R)un Mouvement circulaire uniforme Dans le référentiel d'étude, le système a un mouvement circulaire uniforme si : • sa trajectoire est un cercle de rayon R La valeur de sa vitesse et vaut v Dans ce cas, le vecteur accélération de est centripète (dirigé vers le centre) vaut : a=vcarre /R Attention : la valeur de la vitesse est constante MAIS le vecteur vitesse varie car sa direction varie e) Mouvement circulaire non uniforme Dans le référentiel d'étude, le système a un mouvement circulaire non-uniforme si : • sa trajectoire est un cercle de rayon R • La valeur de sa vitesse v n'est pas constante Dans ce cas, le vecteur accélération 1)se décompose en deux composantes : Vecteur a=an+aT accélération normale: aN=vcarre/R l'intérieur de la courbe 2)accélération tengentielle aT=dv/dt Dans le sens de vecteur v si Dv/dt>0 Dans le sens opposé si Dv/dt<0