Chercher une fonction f tel que f'(x)=4 Yen a til dautre f(x) = 4x f(x) = 4x + 1 f(x) = 4x - 2 f(x) = 4x + 100 Chercher une fonction f tel que f'(x)= x**2 Yen a til dautre f(x) =1/3x**3 f(x) =1/3x**3 + 1 f(x) =1/3x**3 - 2 Soit f la fonction definie par f(x)=x**2 Determiner la primitif F telle que F(3)=5 Etp1) On cherche une primitif F F(x) =1/3x**3 Etp2) On cherche toutes les primitif F(x) =1/3x**3+b(b aprt R) Etp3) On cherche la constante b qui fera F(3)=5 F(3) =1/3*3**3 + b = 5 9 + b = 5 b = 5 - 9 = -4 Donc F(x) =1/3x**3 - 4 Resoudre de l'equation differentielle y'=ay ou y'=ay+b resoudre lequation diff. y'=2y ce qui revient a dire la fonction f telle f'(x)=2f(x) la solution sont les fonctions du type f(x)=ke**2x ou k appartient a R a)resoudre lequation diff. y'=-5y ce qui revient a dire la fonction f telle f'(x)=-5f(x) b)Existe il une fonction f solution de y'=5y telle que f(1)=2 a)Les solutions sont les fonctions du type f(x)=ke**-5 ou K aprt a R b)f(x)= ke**-5x(k aprt R) f(1) =Ke**-5*1 = 2 ke**-5 = 2 k=2/e**−5 = 2e**5 f(x)=2e**5e**-5x =2e**5-5x Propriété: soit alpha aprt R, b aprt R On considere léquation différentielle (E): y' = ay + b Les solution sont les fonctions f définies sur R par f(x) = ke**alpha x + alpha ou alpha est l'unique solution constate de (E) et k aprt R Exemple: résoudre l'équation différentiel (E) y'= 3y+ 12 Etape 1: recherche d'une solution particulière constante. Soit u(x) = alpha ou alpha aprt R On a u'(x) = 0 u est solution de (E) ssi u' (x) = 3u(x) +12 ssi 0 = 3 a + 12 ssi alpha = -12/3= -4 Etape 2: On exprime toutes les solutions: Les solutions sont les fonctions f définies sun R par f(x) = ke**3x-4 où k aprt R. Exemple: Resoudre l'équation diferentielle (E): y=-0,5y-3,6 Etape 1: recherche d'une solution particulière constante. Soit u(x) = aalpha ou alpha aprt E u est solution de (E) ssi u'(x)=-0,5u(x)-3,6 ssi 0 = -0,5 alpha- 3,6 ssi alpha= -3,6/0,5=-7,2 Etape 2: On exprime toutes les solutions Les solutions sont les fonctions f définies sur R par f(x)=ke**-0,5x - 7,2 ou k aprt R Soit léquation différentielle (E)=y'+3y=e**2x 1. Déterminer le nombre réel alpha tel que la fonction u définie sur R par alpha e**2x soit solution de (E). (E)=y'+3y=e**2x et u(x)=alpha e**2x u'(x)=uv'+u'v =alpha*2e**2x+0*e**2x =2alpha e**2x u'(x)=-3f+e**2x alors U'(x)=a u(x)+b on sait que y'+Cf=b donc u'+3u=? U'+3u =2alpha e**2x + 3alpha e**2x =5alpha e**2x alors 5alpha e**2x = e**2x 5alpha = -e**2x/e**2x=1 alpha=1/5 2. Montrer que, pour tout réel k, la fonction f définie sur R par f(x=ke**-3x+alpha e**2x) est solution de (E) f'+3f=? f(x)=ke**-3x + alpha ex**2 f'(x)=-3ke**-3x+2/5 e**2x resoudre on trouve e**2x EXERCICE y'=3/2y+1 y(0)=2 1) equation homogene y1(x)=3/2y =ke**3/2x 2)solution particuliere y2(x)=C y2'=3/2 y2 + 1 0=3/2*C+1 -1/3/2=C C=-1*2/3=-2/3 3) Solution y(x)=y1+y2 y(x)=y1+y2 =ke**3/2x-2/3 y(0)=ke**3/2*0-2/3 k-2/3=2 k=2/3+6/3=8/3 L'unique solution de U(E) est 8/3 e**2/3-2/3