EXO 30: La planète Vénus mv = 4,87 x 10**24 kg orbite quasi circulaire de rayon rv = 108,2 millions de kilomètres autour du Soleil ms = 1,99 x 10**30 kg). Venus subit que linfluence gravitationnelle Soleil. a. Quel referentiel est adapte a letude du mouvement de Vénus autour du Soleil ? ==> ref heliocentrique c. lexpression de l'acceleration vexteur av du centre de Vénus repère de Frenet, fonction de norme Vy de sa vitesse, de r et des vecteurs unitaires. ==> Dans ce repere de Frenet : a(vecteur)v = a(vecteur)ut + a(vecteur)un =V**2v/rv * vecteur Un + dVv/dt*vecteur Ut d. Appliquer la deuxieme loi de Newton dans le référentiel detude, suppose galiléen, et exprimer lacceleration av du centre de Vénus en fonction de ms , G, rv et vecteur un Dans un ref heliocentrer suppose galiléen, on a dapres la 2eme LN ==> mva vecteur = G * ((mv*ms)/R**2 de v) * U vecteur de n + O U vecteur de t a vecteur = G * ms sur Rv**2 U vecteur n f. En utilisant les deux expressions de lacceleration etablies précédemment, montrer que le mouvement de Venus est uniforme, de vitesse vv = Racine Gms/rv ==> a de v = G * ms sur Rv**2 = V de v au carre sur Rv (dv sur dt = 0, le mvmnt circulaire est alors uniforme) V au carre v = G * msRv / Rv au carre = Gms / Rv V de v = racine de Gms sur Rv. = racine de 6,67.10**-11 * 1,99.10**30 sur 108,2.10**9 = 3,5.10**4 m.s-1 Calculer sa valeur. g. Exprimer la période Tv de la révolution de Vénus (année venusienne) en fonction de vv et rv Calculer sa valeur et l'exprimer en jours. ==> 2piRv = VmTv donc Tv = 2piRv sur V de v = 2piRv sur racine GmS/Rv = 2pi racine de Rv**3 sur Gms EXO 39: L'observation de la Lune montre que celle-ci tourne autour de la Terre en T = 27,32 j et que le rayon de son orbite, supposée circulaire, est égal à 60 fois le rayon terrestre RT a. satellite terrestre en orbite circulaire de période T et de rayon r. À l'aide d'une loi de Kepler que l'on nommera, déterminer une relation entre T, r, TL et RT. ==> Dapres la 3e L.K : T (satelite)**2/R**3 = Cte et T (lune)**2/ (60Rt)**3 = Cte ainsi on a : T**2/r**3 = T**2/(60Rt)**3 = Cte b. En déduire la valeur, en heures, de la période d'un satellite de la Terre qui serait en orbite rasante, c'est-à- dire à une altitude nulle. Combien de tours de la Terre un tel satellite ferait-il en une journée ? (Un tel satellite n'existe pas à cause des frottements de l'air.) ==> Dans le cas d'un satelite en orbite sur la terre, le rayon de cette orbite est egale au rayon de la terre. (r=Rt) T**2/Rt**3 =Tl**2/ (60 Rt)**3 T**2 = ((Rt**3 * Tl**2)/(60**3 * Rt**3)) = Tl**2/ 60**3 = 27,32 sur 221600 = T = racine (Tl**2/60**3) = racine de 27,32 sur 216000 = 5,9.10**-2 j = 1,416 h 1 tour = 1,4h ? = 24h 24 sur 1,4 = 17 tours en une journee EXO 49 : Les satellites géostationnaires sont en orbite circulaire à hgs = 3,58 x 10**4 km au-dessus de l'équateur. 1. Ces satellites sont mis en orbite par étapes. Une possibilité consiste à amener le satellite en orbite basse, à hbas = 200 km au-dessus du sol et à le placer sur une orbite de transfert dont l'apogée est sur l'orbite géostationnaire et le périgée à l'endroit où le satellite se sépare du lanceur sur l'orbite basse. a. Faire un schéma représentant la Terre, son centre T. l'orbite géostationnaire, l'orbite de transfert, son apogée A. son périgée P. les distances hgs, hbas et le rayon terrestre RT. ==> Voir schema b. En déduire la valeur du demi-grand axe a de l'orbite de transfert. ==> a = (hbas + 2Rt + hgs) sur 2 = 200 + (2*6380) + 358.10**4 sur 2 c. Un satellite géostationnaire a une période de révolution = 86 164 s. Á l'aide de la troisième loi de Kepler. Tsid pis déterminer la période T trans de révolution du satellite sur son orbite de transfert. ==> Dapres la 3e L.K = 24380 km T mars**2/ a trans**3 = Cte et T sud**2/ a sud**3 = Cte Ainsi : T trans**2/a trans**3 = T sud**2/ a sud**3 = Cte T trans**2 = T sud**2 * a trans**3/ a sud**3 T trans = racine de T sud * a trans**3/ a sud**3 = racine de T sud**3 * a**3/ (hgs + Rt)**3 Trans = racine de 86164**2 * 24380 **3/(3,58.10**4 + 6380)**3 = 3,78.10**4 s = 37800 s d. Déterminer la durée minimale passée par le satellite sur son orbite de transfert. ==> La durée minimale passe sera de Trans sur 2 = 37800 sur 2 = 18900 s 2. Lorsqu'un satellite géostationnaire a terminé sa mis- sion, il doit être dirigé vers une orbite cimetière à 300 km environ au-dessus de l'orbite géostationnaire. Déterminer la période de révolution d'un tel déchet. EXO 51: Le Soleil et son systême se trouvent dans la Voie lactée, notre galaxie. On peut considérer que la distance entre le Soleil et le centre gatactique est constante, de valeur r=2,7x10**4 années-lumière. 1. On étudie le Soleil, de masse m 2.0 x 10**30 kg, dans le référentiel lié au centre de la galaxie, supposé galitéen. On supposera qu'il ne subit que ta force gravitationnelle vecteur Fo/s exercée par le centre galactique O , où serait concentrẻe la masse MG de la galaxie dans ce modèle simplifié. a. Faire un schéma représentant le centre galactique 0. le Soleil S, un vecteur unitaire u colinéaire à vecteur OS et de même sens, et la force Fors un rond avec le centre O vecteur u qui part vers un point du cercle S le vecteur Un qui vas vers le centre O le vecteur Ut qui par de S en dehors du cercle b. A l'aide de la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression de l'accélération a, du Soleil dans le référentiel d'étude. 2ème L.N Somme des forces vecteur FO/S =mS vecteur a = G x ms x mo / r**2 x vecteur Un vecteur a =G × mo/ r**2 x vecteur un + o sur c. mouvement du Soleil peut être considéré comme circulaire de centre 0. car la distance est considérée comme constante d.expression de l'accélération du Soleil a dans un repère de Frenet. vecteur a =v**2/r x vecteur un + dv/dt vecteur ut e. Montrer mouvement du Soleil uniforme et donner l'expression de la norme ve de sa vitesse en fonction de G, Mg et r. dv/dt x vecteur ut = 0 f. En déduire enfin que la période de révolution du Soleil autour du centre galactique (année galactique) s'écrit: Ts=2pi racine r**3/ GMs v**2=GMs / r v= Racine GMG/r T=2pi r / v 2. L'année galactique vaut environ 250 millions d'années terrestres a. Exprimer Ts en secondes et r en mètres. 250 millions d'années terrestres = 7,884 x 10**9 millions seconde r=2,7 x 10**4 r=2,55×10**20 m b. En déduire la masse Mg de la galaxie dans ce modèle. Ts=2pi racine r**3/ GMs Ts**2=4pi **3 × r**3/ GMs GMG = Tr**2/4 pi **2 x r**3 MG=4 pi **2 x r **3/ G x Ts**2 =1,6 × 10**41 c. On estime la masse totale de la Voie lactée à 10**)12 fois la masse solaire. Le modele utilisé est-il réaliste ? Sinon, citer une hypothèse vous paraissant abusive. La masse obtenue dans notre modèle est 12 x < réalité cela s'explique par l'approximation que toute cette masse soit ponctuelle