On administre un patient un medicament. Une machine effectue a l'instant 0 l'injection de 10mL de medicament. On estime que 20% du médicament est éliminé chaque minute. Enfin, chaque minute, la machine injecte 1 mL de médicament. Pour tout entier naturel n, on note un la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient n minutes après l’injection initiale. 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a Un+1=0,8Un+1 . Préciser la valeur de u0 Un+1= (1-20/100)Un + 1 = 0,8 Un + 1 2. a. Déterminer une suite constante, notée alpha, vérifiant la même relation de récurrence que On cherche le réel alpha tel que alpha=0,8 alpha+1 . Cette équation équivaut à : -0,8alpha=1 <->0,2alpha=1 <-> alpha=5 La suite constante égale à 5 vérifie la même relation de récurrence que (Un). .b. On considère la suite auxiliaire définie, pour tout , par .Montrer que est géométrique. On précisera la raison et le premier terme v0 de cette suite. Pour tout n appartient à N, on a Vn+1=Un+1-5 =0,8Un+1-5 =0,8(Un-5) =0,8Vn (Vn)est bien géométrique de raison q=0,8 et de premier terme V0=U0-5=10-5=5. c. En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de l’entier naturel n. Puisque (Vn)est géométrique, on a,pour tout n appartien a N: Vn=V0xq**n =5x0,8**n d'ou Un=Vn+5 =5+5x0,8**n 3. Déterminer la limite de la suite . Quelle interprétation peut-on donner de cette limite ? Puisque 0<q<1, on a lim 0,8**n=0 et, par limite d’un produit, on déduit que lim 5x0,8**n=0 puis par limite d’une somme, on conclut que lim 5+5x0,8**n=5. Ainsi converge vers 5. Sur le long terme, la quantité de médicament présent dans l’organisme de ce patient se stabilisera autour de 5 mL.