*Déterminer les entiers relatifs n 
tels que n + 2 divise 2n - 29

Pour tout entier relatif n, on a :
n + 2|n + 2 n + 2|2n - 29 donc, 
par combinaison linéaire, 
n + 2|2(n + 2) -(2n - 29)= 33 
donc n + 2|33.
Diviseurs de 33 sont 1, 3, 11, 33, 
-1, -3 -11 et -33. 
Ainsi :
n + 2 = -33, n = -35 ...
On en déduit que n E {-1;1;9;-5;31;-3;-13;-35}
Réciproquement, on vérifie aisément que pour 
n E {-1; 1; 9; 31; -3; -5;-13; -35} , 
n+ 2 divise 2n - 29.
Conclusion : Les valeurs de n tq 
n + 2|2n - 29 sont
-1 ; 1; 9 ; 31 ; -3 ; -5; -13 ;-35.

*Démontrer que si a|5b + 31 et a|3b + 12 
alors a|33.
Si a|5b + 31 et 3b + 12, alors, par 
combinaison linéaire, a|3(5b + 31) - 5(3b + 12).
Or 3(5b + 31) - 5(3b + 12) = 33 , 
donc a divise 33.
*La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
Etudions la réciproque :
Soit a =11 et b = 1. On a alors 
5b + 31 = 36 (et 3b + 12 = 15)
a est un diviseur de 33 mais a
ne divise pas 36 (et ne divise 
pas 15), Réciproque est fausse.

*Le reste de la division euclidienne 
de l'entier naturel a par 18 est 13. 
Quel est le reste de la division
euclidienne de a par 9 ?
a = 18q + 13 où q est quotient
On a alors : a = 9 x 2q + 9 + 4 
= 9(2q + 1) + 4 = 9q' + 4.
L'égalité a = 9(2q + 1) + 4 
traduit la division euclidienne de 
a par 9 avec q' = 2q + 1 qui est 
le quot et le reste est r = 4 qui 
respecte bien la condition 0 <= r < 9.
Concl:Le reste de la divis eucl de a par 9 est 4.