1. Vérifier que la fonction f définie par f(x) = e0,5x est solution de l’équation différentielle (E) : y′ −0,5y = 0. f′(x) = 0,5e0,5x = 0,5f(x) Donc f est solution de : y′ = 0,5y ⇐⇒ y −0,5y = 0 2. Déterminer une équation différentielle dont la fonction g définie par g(x) = e2x+1 − 1 est solution. g′(x) = 2e2x+1 = 2g(x) +2 Donc g est solution de y′ = 2y +2 3. Résoudre l’équation différentielle 2y′ − 4y = 6. 2y′ −4 = 6 ⇐⇒y′−2y =3 Les solutions sont de la forme : f(x) = ke2x − 3 2 avec k ∈ R 4. Soit h la solution de l’équation différentielle y′ = 4y vérifiant h(1) = 2. Déterminer l’expression de h. y′ = 4y ⇐⇒y−4y =0 Les solutions sont de la forme : h(x) = ke4x avec k ∈ R h(1) = 2 ⇐⇒ke4 =2⇐⇒k =2e−4 Donc h(x) = 2e−4 ×e4x = 2e4x−4 Exercice 2. 1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y′ + 3y = 0 Les solutions sont de la forme : f(x) = ke−3x avec k ∈ R 2. Trouver la fonction f solution de (E) dont la courbe représentative dans un repère orthonormé passe par le point A(0 ; 2). f(0) = 2 ⇐⇒k =2 Donc f(x) = 2e−3x 3. Trouver la fonction g solution de (E) dont le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d’abscisse 1 vaut 2. g′(x) = −3ke−3x g′(1) = 2 ⇐⇒ −3ke−3 = 2 ⇐⇒k = −2 Donc g(x) = −2 3 e3 3 e3× e−3x = −2 3 e−3x+3 Le Garrec Perrine Page 1/3 Lycée Jean Perrin Exercice 3. On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-dessous composé de : • une source de tension continue E de 20 V • une résistance R de 104Ω • un condensateur de capacité C de 10−5 F On note U la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension U est une fonction du temps t en secondes. La fonction U est définie et dérivable sur [0 ; +∞[; elle vérifie l’équation différentielle RCU′ +U = E où U′ est la fonction dérivée de U. 1. Justifier que l’équation différentielle est équivalente à : U′ + 10U = 200. RCU′ +U =E ⇐⇒10−1U′+U =20⇐⇒U′+10U =200 2. (a) Déterminer la forme générale U(t) des solutions de cette équation différentielle. La fonction U est de la forme : U(t) = ke−10t +20 (b) On considère qu’à l’instant t = 0, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction U qui vérifie cette condition. U(0) = 0 ⇐⇒k+20=0⇐⇒k=−20 Donc U(t) = −20e−10t +20 Le Garrec Perrine Page 2/3 Lycée Jean Perrin 3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction U qui vient d’être obtenue à la question 2.b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées. 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 On appelle T le temps de charge en secondes pour que U(T) soit égal à 95 % de E. (a) Déterminer graphiquement le temps de charge T. 0, 95 ×20 = 19 Ainsi, T = 0,3 s. (b) Retrouver, par le calcul, le résultat précédent. U(T) = 19 ⇐⇒−20e−10T +20 = 19 ⇐⇒−20e−10T = −1 ⇐⇒e−10T = 0,05 −10T =ln(0,05) T = ln(0,05) −10 ≈0,3